Pendant Drop Methode — Optische Bestimmung der Ober-/Grenzflächenspannung

Die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit bzw. die Grenzflächenspannung zwischen zwei Flüssigkeiten kann mit Hilfe eines optischen Kontakwinkelmessgeräts und Konturanalysesystems bestimmt werden. Dafür wird mit dem in Abbildung 1 skizzierten Versuchsaufbau ein Bild eines Flüssigkeitstropfens, der an einer Dosiernadel hängt, aufgenommen und über die DataPhysics SCA 22 Software analysiert. Das entsprechende Auswerteverfahren wird als Pendant Drop (hängender Tropfen) Methode bezeichnet.

Für die Analyse der Tropfenkontur wird die Young-Laplace-Gleichung zugrunde gelegt. Diese beschreibt den Druckunterschied (Laplace-Druck), der zwischen den Bereichen innerhalb und außerhalb einer gekrümmten Flüssigkeitsober/-grenzfläche mit den Hauptkrümmungsradien Ri besteht:

(Young-Laplace) Young-Laplace Gleichung

Die Kräfte, die die ausgebildete Form des hängenden Tropfens bestimmen, sind im Wesentlichen die Oberflächenspannung und die Gravitation. Die Oberflächenspannung versucht die Oberfläche zu minimieren und den Tropfen möglichst in Kugelform zu bringen. Die Gravitation hingegen streckt den Tropfen aus dieser Kugelform, sodass sich die typische an eine Birne erinnernde Form ergibt.

Die Gravitation verursacht entlang der z-Achse des Tropfens ein Druckgefälle gemäß des Pascal’schen Gesetzes (Hydrostatischer Druck). Daraus folgt für den Laplace-Druck ΔP(z) im Abstand z von einer beliebigen Referenzebene mit dem Laplace-Druck ΔP0:

Gleichung Laplace Druck im Abstand z

Bei einem hängenden Tropfen gilt für die Hauptkrümmungsradien im Scheitel (unterster Punkt des Tropfens): R1=R2=R. Daher bietet es sich an die Referenzebene in diesen Punkt zu legen. In jedem Punkt oberhalb des Scheitels gilt R2=x/sin Φ (vgl. Abbildung 2). Aus den genannten Gleichungen ergibt sich:

Gleichung Laplace Druck im Abstand z Eingesetzt

Mit der Einführung einer Parametrisierung über die Bogenlänge s der Tropfenkontur ergibt sich schließlich folgendes Gleichungssystem aus drei Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei Randbedingungen, welches sich mit numerischen Rechenverfahren lösen lässt:

Gleichung Parametrisierung für Pendant Drop

Aus der nummerischen Anpassung der theoretischen Tropfenform an die mit der Kamera aufgezeichnete Form erhält man die Oberflächenspannung. Die selben Überlegungen gelten auch, wenn die umgebende Phase nicht Luft sondern eine andere Flüssigkeit ist und man entsprechend die Grenzflächenspannung bestimmt.

Die Young-Laplace-Anpassung kann auch zur Bestimmung des Kontaktwinkels mittels der Sessile Drop Methode genutzt werden, wobei hier analog die Deformation eines auf einem Festkörper liegenden Tropfens analysiert wird.

Kamera Tropfen an Nadel Lichtquelle Abbildung 1: Schematischer Aufbau für eine Pendant Drop Messung Abbildung Schematischer Aufbau für eine Pendant Drop Messung
Abbildung 2: Zur Herleitung des Young-Laplace-Fits an einen hängenden Tropfen Abbildung Herleitung des Young-Laplace-Fits an einen Pendant Drop